Festiwal Matematyki 2022

W trakcie wykładu dowiemy się, jak przedstawić powiązania między znajomymi w Facebooku za pomocą grafu. Poznamy ciekawe własności, jakie ma ten graf. Dzięki temu między innymi zrozumiemy, dlaczego ,,świat jest mały”. A co najważniejsze, zobaczymy, że nie taki Facebook wyjątkowy i wiele innych sieci powiązań w świecie jest bardzo podobnych. Zobaczymy też podobne grafy wygenerowane komputerowo.

Gdy w 1982 r. francuski matematyk Mandelbrot wydał książkę “The Fractal Geometry of Nature”, spotkała się ona z dużą krytyką – badanie samopodobnych zbiorów uznano początkowo za pozbawione głębszego sensu. Dziś jednak trudno wyobrazić sobie grafikę komputerową bądź kompresję obrazów bez wykorzystania wynalazku Mandelbrota. Okazuje się bowiem, że w naturze „samopodobieństwo to coś powszechnego, a nie patologia”. W jaki sposób można jednak wygenerować tak skomplikowaną strukturę i zapisać ją za pomocą niewielkiej ilości danych? Postaram się odpowiedzieć na to pytanie, wykorzystując jedno z najbardziej znanych twierdzeń analizy matematycznej w dość nieoczekiwany sposób. Pokażę też, jak wygenerować swój ,,własny” fraktal, wykorzystując odpowiednie pakiety matematyczne.

Tytuł jest przewrotny: w pierwszym odruchu wiele osób powie, że „nikomu” lub „nie mnie”. A ja spróbuję jednak przekonać słuchaczy, że odpowiedź poprawna to „wszystkim” lub „prawie wszystkim”. Spotkanie jest za krótkie na pokazanie wszystkich zastosowań i korzyści z zastosowań matematyki, ale trochę zaskakujących faktów jednak zdążę podać i zaproszę do dalszej dyskusji w tej sprawie. Spotkanie dla „sceptyków”… może ich liczba spadnie? 🙂

W czasie wykładu zostaną przedstawione proste kryptosystemy oparte na szyfrowaniu symetrycznym, takie jak szyfr Cezara, szyfr afiniczny, digrafy czy szyfr Vigenère’a. Omówimy również podstawowe pojęcia elementarnej teorii liczb.

W trakcie wykładu przedstawione będą potrzebne pojęcia i twierdzenia z teorii liczb, które posłużą do omówienia algorytmu RSA. Udowodnimy również poprawność algorytmu RSA.

Na wykładzie przestawione będą własności krzywych stożkowych: elipsy, okręgu, paraboli i hiperboli oraz ich przydatność w astronomii.

Modelowanie matematyczne polega na stworzeniu matematycznego opisu badanego zjawiska. Taki opis możemy przełożyć na symulację komputerową, dzięki której możemy na przykład przewidzieć przyszłe zjawiska czy stworzyć realistyczne wizualizacje. W trakcie wykładu przedstawię jak za pomocą modelowania matematycznego można ożywić ławicę ryb, zasiać łąkę czy wyhodować las, a następnie go spalić.

Obecnie ponad miliard ludzi żyje w slumsach, a liczba ta stale rośnie. Jednym z rozwiązań tego problemu proponowanym przez organizację UN-Habitat jest stopniowa poprawa jakości życia w slumsach np. poprzez zapewnienie ich mieszkańcom dostępu do infrastruktury takiej jak przejezdne drogi, czy instalacje sanitarne. Na wykładzie będzie można się dowiedzieć, jak można wykorzystać matematykę, a konkretnie grafy planarne, aby pomóc w realizacji tego celu.

Podczas spotkania spróbujemy zrozumieć w jaki sposób działa szyfrowanie i co z nim wspólnego ma matematyka. Zastosujemy różne pomysłowe metody, aby złamać kody takie jak Enigmą czy szyfr podstawieniowy. Zobaczymy w jaki sposób dzisiaj koduje się wiadomości i dlaczego tak trudno jest złamać nowe kody.

Trygonometria to dział matematyki poświęcony badaniu związków pomiędzy bokami i kątami trójkąta.

Pierwotnie wykorzystywana była przez żeglarzy przy nawigacji, urzędników przy pomiarach gruntów, czy wreszcie uczonych i kapłanów do mierzenia czasu. Obecnie trygonometria używana jest m.in. do modelowania i opisywania zjawisk fizycznych. Celem wykładu będzie ukazanie, że matematyczny świat funkcji trygonometrycznych nie jest wcale tak odległy jakby się mogło wydawać i czai się na wyciągniecie… telefonu komórkowego.